연속형 확률분포 - 감마 분포 (Gamma Distribution)

감마 분포의 정의

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위키피디아에 감마 분포를 검색하면 아래와 같이 나온다.

💡 감마 분포는 연속 확률 분포로, 두 개의 매개변수를 받으며 양의 실수를 가질 수 있다.

 

이 설명으로는 이해가 쉽지 않다. 연속 확률 분포라는 것은 알겠고 두 매개변수는 $\alpha$ 와 $\lambda$ 이다. 감마 분포의 확률 변수(Random Variable) $X$는

💡 $\alpha$ 개의 이벤트가 발생할 때 까지 시간

으로 정의 할 수 있다. 따라서 감마 분포는 $\alpha$ 개의 이벤트가 발생할 때 까지의 대기 시간의 분포로 이해할 수 있다.

 

다시 매개변수로 돌아가보면 여기서 $\alpha$ 는 그 시간의 간격을 변동시키는 매개변수이고 $\lambda$ 는 그 시간에서 발생할 확률을 변동시키는 매개변수이다. 상세한 내용은 아래에서 더 다룬다.

 

감마 분포의 확률 밀도 함수

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우선 감마 분포의 확률 밀도 함수(PDF: Probability Density Function)는 다음과 같다.

 

$ f(x) = \begin{cases} \dfrac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{(\alpha-1)}e^{-\lambda x}, & for \;\; x>0 \\ 0, & otherwise \end{cases} $

 

감마 분포는 $\alpha$ 개의 이벤트가 발생할 때 까지의 대기 시간의 분포이므로 항상 $x>0$ 이 된다.

그런데 이 확률 밀도 함수의 분모를 보면 감마 함수 $(\Gamma(\alpha))$ 가 포함되어 있다. 그러면 감마 함수를 이해해보자.

 

감마 함수

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감마 함수의 정의는 다음과 같다.

$\Gamma(\alpha) = \displaystyle \int_{0}^{\infty} x^{(\alpha-1)}e^{-x}\,\; dx$

 

이 감마 함수에는 몇 가지 성질이 있다.

1. $ \Gamma(1) = \displaystyle \int_{0}^{\infty} x^{(1-1)}e^{-x}\,\; dx =\; \displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-x}\,\; dx =1 $

    $ \therefore \Gamma(1) = 1 $

 

2. $\Gamma(\cfrac{1}{2}) = \displaystyle \int_{0}^{\infty} x^{-\frac{1}{2}}e^{-x}\,\; dx =\; \displaystyle \int_{0}^{\infty} u^{-1}e^{-u^2}\,\; 2u\; du$  (치환적분)

    $= \alpha \displaystyle \int_{0}^{\infty} x^{\alpha-1}e^{-x}\,\; dx = \alpha \Gamma(\alpha), \;\;\alpha>0$

    $\therefore \Gamma(\alpha +1) = \alpha \Gamma(\alpha)$

 

3. $\Gamma(\alpha + 1) = \displaystyle \int_{0}^{\infty} x^{\alpha}e^{-x}\,\; dx =\; [-x^\alpha e^{-x} ]_{0}^{\infty}\displaystyle \int_{0}^{\infty} \alpha x^{\alpha-1}e^{-x}\,\; dx$     
    $= \alpha \displaystyle \int_{0}^{\infty} x^{\alpha-1}e^{-x}\,\; dx = \alpha \Gamma(\alpha), \;\;\alpha>0$     
    $\therefore \Gamma(\alpha +1) = \alpha \Gamma(\alpha)$

 

4. $\Gamma(n+1) = n\Gamma(n)$ 
    $=n(n-1)\Gamma(n-1)$     
    $=n(n-1)(n-2)\Gamma(n-2)$     
    $= .....$     
    $=n(n-1)(n-2)...(1)\Gamma(1)$     
    $=n!$     
    $\therefore \Gamma(n +1) = n!$

 

 

감마 분포의 parameters

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앞서 언급했든 감마 분포의 매개변수(parameters)는 $\alpha$ 와 $\lambda$ 이다. 여기서 $\alpha$ 는 형상모수(Shape parameter) 라고 하고, $\lambda$ 는 척도모수 (Rate 혹은 Scale parameter) 라고 부른다. 아래 그래프는 $\alpha$ 와 $\lambda$ 에 따른 감마 분포의 그래프를 보여주는데 잘 보면 알겠지만 $\alpha$ 의 변화에 따라서는 $X$가 변하고 $\lambda$에 따라서는 Density가 변하는 것을 확인할 수 있다.

 

따라서 정의에서 언급한 것 처럼 $\alpha$ 는 그 시간의 간격을 변동시키는 매개변수이고 $\lambda$ 는 그 시간에서 발생할 확률을 변동시키는 매개변수라고 이해할 수 있다.

 

 

감마 분포의 기대값과 분산

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$E[X] = \cfrac{\alpha}{\lambda}$

$V[x] = \cfrac{\alpha}{\lambda^2}$

 

위키백과나 다른 강의들과 모양이 조금 다를 수 있는데, 그것은 확률 밀도 함수를 다르게 표시했기 때문이다. 지수 분포와의 관계를 설명하기 위해 지수 분포와 같은 형태로 표현했다.

 

감마 분포의 지수 분포의 관계

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여기서 지수 분포를 “일정한 사건이 일어날 때까지 걸리는 시간”이라고 설명한다.

2023.06.27 - [Studies/확률&통계] - 연속형 확률분포 - 지수 분포(Exponential Distribution)

연속형 확률분포 - 지수 분포(Exponential Distribution)

감마 분포는 $\alpha$ 개의 사건이 발생할 때까지의 시간 분포 임으로

$Gamma(1, \lambda)$ 는 지수 분포라고 이해할 수 있다.

$f_X(x) = \cfrac{\lambda}{\Gamma(1)}x^{1-1}e^{-\lambda x} \; \; for \; \; x>0$

$= \lambda e^{-\lambda x}$

그래서 감마 분포의 매개변수 $\alpha$ 는 개별 지수분포의 개수라고 이해할 수 있으며,

 

• $\lambda$를 가지는 포아송 프로세스가 1개의 사건일 때는 지수 분포
• $\lambda$를 가지는 포아송 프로세스가 여러개의 사건일 때는 감마 분포

라고 이해할 수 있다.

 

예제

 

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Q. 가영이가 낚시를 하는데 30분에 1마리를 잡는다. 4마리 물고리를 잡을때까지 걸리는 시간이 2시간에서 4시간 사이에 소요될 확률은?

A. 여기서 $\lambda$ 는 단위 시간당 사건이므로 2

$\alpha$ 는 4마리 물고기를 잡아야하므로 4

$\therefore Gamma(4,2)$

$P(2\leq X \leq 4) = \displaystyle \int_{2}^{4} \cfrac{2^4}{\Gamma(4)}\; x^3 \; e^{-2x}\,\; dx = 0.39$

 

 

참고:

[1] 김성범 교수님 유튜브 기초 통계 강의

[2] https://blog.naver.com/mykepzzang/220842759639