연속형 확률분포 - 지수 분포(Exponential Distribution)

지수 분포의 정의

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지수 분포는 일정한 사건이 일어날 때까지 걸리는 시간을 나타낸다. 예를 들어

• 서비스 구간에서 두 고객 사이 걸리는 시간
• 다음 고장이 발생할 때까지 걸리는 시간

등이 있다.

 

지수 분포의 확률 밀도 함수 (pdf)

$f(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}, \quad if\;x\geq0 \\ 0 \quad \quad \;, \: if \; x<0\\ \end{cases}$

 

지수 분포의 누적 분포 함수 (cdf)

$F(x)=\begin{cases}0, \quad\quad \quad \quad \,if\;x\geq0 \\ 1-e^{-\lambda x}, \quad if \; x\geq0\\ \end{cases}$

 

지수 분포에서 parameter $\lambda$는 단위 시간 당 발생한 이벤트의 평균 값이다.

 

지수 분포의 기대값과 분포

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$E[X] = \cfrac{1}{\lambda}$

$V[X] = \cfrac{1}{\lambda^{2}}$

 

지수 분포의 예제

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공중 전화의 통화 시간 $X$가 지수 분포를 따르고 $\lambda = \cfrac{1}{10}$이다. 공중 전화에 갔는데 바로 앞에 사람이 와서 기다리게 되었다. 10분 이상 기다릴 확률은?

확률 변수 $X$가 특정 값보다 작은 cdf 개념에서 접근해보면

 

지수 분포와 포아송 분포와의 관계

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포아송 분포는 특별한 시간과 장소에서 몇 번의 사건이 발생하는가에 대한 확률이라면 지수 분포는 그 사건 사이의 발생 간격이다.

 

참고 : 김성범 교수님 유튜브