연속형 확률분포 - 균일 분포(Uniform Distribution)

균일 분포의 확률밀도함수

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균일 분포(or 일양 분포)는 확률변수 $X$가 특정한 구간 $(\alpha, \beta)$ 에서 동일한 확률을 가지는 분포이다. 균일분포의 확률밀도함수(pdf)는 다음과 같다.

확률밀도함수의 면적은 항상 1이 되어야 하므로 $f(x)$는 $\cfrac{1}{\beta-\alpha}$가 된다.

 

균일분포의 누적확률분포

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$F(a) = \displaystyle \int_{-\infty}^{a} f(x)\, dx$

누적확률분포(cdf)는 위와 같이 표현할 수 있다. 그런데 균일분포는 $(\alpha, \beta)$라는 구간이 정해져 있으므로, 아래와 같이 구간별로 나누어 볼 수 있다.

$a$가 $\alpha$보다 작을 때에는 0이므로, cdf는 0이다.

$a$가 $\alpha$와 $\beta$사이에 있을 때에는 Lower bound는 $\alpha$가 되므로, $\alpha$부터 $a$까지 적분을 통해서 cdf를 구할 수 있다.

$a$가 $\beta$보다 클 때에는 사실 상 $\alpha$부터 $\beta$까지의 cdf 이므로 1이 된다.

이를 다시 정리 하면 다음과 같다.

 

균일분포의 기대값과 분산

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$E[X] = \cfrac{\beta +\alpha}{2}$

$E[X^{2}] = \cfrac{\beta^2+\alpha\beta+\alpha^2}{3}$

$V[X] = E[X^2]-(E[X])^2 = \cfrac{(\beta-\alpha)^2}{12}$

 

예제

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버스가 7부터 15분 간격으로 도착한다. 승객이 7시부터 7시 30분 사이에 균등분포로 도착한다.

승객이 5분 이내로 기다릴 확률은 무엇일까?

$\alpha=7$ 시가 되고, $\beta=7:30$ 이 되므로, $f(x) = \cfrac{1}{30}$ 이 된다.

승객이 5분 이내로 기다리는 것이므로, 7시 10분부터 15분 사이에 도착하는 승객과 7시 25분부터 30분 사이에 도착하는 승객, 두 가지 경우의 합이 된다.

$P(10<X<15) + P(25<X<30) = \displaystyle \int_{10}^{15} \cfrac{1}{30}\; dx \;+ \;\int_{30}^{25} \cfrac{1}{30}\; dx = \cfrac{1}{3}$

 

 

참고 : 김성범 교수님 유튜브