이산형 확률분포 - 포아송 분포(Poisson Distribution)

포아송 분포의 정의 (Poisson Distrubution)

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단위 시간 안에 특정 사건이 몇 번 발생할 것인지를 표현

$f(k;\lambda) = \cfrac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k!}$

Parameter는 분포의 모양을 결정하며 모든 분포는 Parameter를 가지고 있음 → 포아송 분포의 Parameter : $\lambda$

포아송 분포를 사용하는 경우

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포아송 분포는 드물게 발생하는 사건에 적합하다. 따라서 발생 가능성이 매우 낮은 사건을 모델링 할 때, 이항분포를 사용하면 예측 오차가 커질 수 있지만 포아송 분포를 사용하면 더 나은 결과를 얻을 수 있다.

▼ 사용 예

• 어떤 집단에서 100세 이상인 사람의 수
• 책의 page에서 오타의 개수
• 전화를 잘못 걸 경우

 

이항분포와 포아송 분포의 관계

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포아송 분포는 발생 가능성이 매우 낮은 사건에 사용하기 때문에, 이항분포의 n값이 아주 크고 p가 아주 작을 때 포아송 분포로 근사할 수 있다.

 

포아송분포의 기대값과 분포

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$E[X] = V[X] = \lambda$

 

포아송분포 예제

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유리잔 생산 공장에서 유리잔의 결함이 발생할 확률이 포아송 분포를 따른다. ($\lambda = 0.5$ )

이 때, 결함이 하나도 발생하지 않을 확률은?

$P(X=0) = \cfrac{e^{-0.5}\centerdot0.5^{0} }{0!} = 0.607$

 

참고 : 김성범 교수님 유튜브, 포아송 분포 위키백과