Studies/확률&통계12 이산형 확률분포 - 기하 분포(Geometric Distribution), 음이항 분포(Negative Binomial Distribution), 초기하 분포(Hypergeometric Distribution) 기하 분포(Geometric Distribution) 기하 분포의 정의 기하 분포는 베르누이 시행으로부터 시작한다. 성공 혹은 실패의 경우로 구성된 시행을 연달아 수행하며 처음 성공할 때 까지 시도한 횟수 $X$에 대한 분포이다. 기하분포의 확률질량함수(pmf)는 다음과 같이 정의한다. $P\{X=n\} = (1-p)^{n-1}p\quad n=1,2,...$ 동전을 다섯 번 던져서 앞면이 나올 확률은 $p=0.5$이고 5번째에 처음으로 앞면이 나온다면, 4번째 까지는 뒷면이 나오고 (뒷면이 나올 확률 = $1-p$) 마지막 5번째 시도에서 앞면이 나와야 하므로 위와 같은 식이 정의된다. 기하 분포의 기대값과 분산 $E[X] = 1/p$ $V[X] = (1-p)/p^{2}$ 기하 분포의 예제 항아리에 N개.. 2023. 5. 11. 이산형 확률분포 - 포아송 분포(Poisson Distribution) 포아송 분포의 정의 (Poisson Distrubution) 단위 시간 안에 특정 사건이 몇 번 발생할 것인지를 표현 $f(k;\lambda) = \cfrac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k!}$ Parameter는 분포의 모양을 결정하며 모든 분포는 Parameter를 가지고 있음 → 포아송 분포의 Parameter : $\lambda$ 포아송 분포를 사용하는 경우 포아송 분포는 드물게 발생하는 사건에 적합하다. 따라서 발생 가능성이 매우 낮은 사건을 모델링 할 때, 이항분포를 사용하면 예측 오차가 커질 수 있지만 포아송 분포를 사용하면 더 나은 결과를 얻을 수 있다. ▼ 사용 예 어떤 집단에서 100세 이상인 사람의 수 책의 page에서 오타의 개수 전화를 잘못 걸 경우 이항분포와 .. 2023. 5. 11. 이산형 확률분포 - 베르누이분포(Bernoulli Distribution), 이항분포(Binomial Distribution) Bernoulli Distribution (버눌리, 베르누이 분포) 베르누이 분포의 정의 확률변수 $X$가 0과 1을 갖는 확률변수를 베르누이 확률변수라고 하고, 이것의 분포를 베르누이 분포라고 한다. 이 때, 0과 1을 확률로 바꾸려면 함수가 필요하며 이를 베르누이 확률 함수라고 한다. 베르누이 확률함수는 다음과 같다. (일반적으로 베르누이 분포에서 $P$는 시행 결과가 ‘성공’일 확률을 말한다.) $f_{x}(x; p) = p^{x}(1-p)^{1-x}, x = 0, 1$ 베르누이 확률 함수의 기대값과 분산 기대값의 정의 $E[X] = \sum_{x=0,1} x\cdot p^{x}(1-p)^{1-x}$ 여기서 $X$가 0일때는 0, $X$가 1일때는 $p$ 이므로 $0+p = p$ $\therefor.. 2023. 5. 8. 확률변수(Random Variable) 확률변수(Random Variable)의 정의 확률변수는 표본공간(Sample Space)에 있는 모든 원소(Element)를 실수로 대응시키는 함수이다. 표본공간(Sample Space) 표본공간은 실험의 결과 하나하나를 모두 모은 것을 뜻하며, S로 나타냄 예를 들어 동전을 2개 던지는 경우 표본공간은 $S = \{앞앞, 앞뒤, 뒤앞, 뒤뒤\}$ 그렇다면 위 표본공간에서 확률변수($Y$)는? $Y$ = 동전이 앞면이 나오는 경우는? 표본공간 $S$에서 앞면이 나오는 경우를 세보면 $S =\{2, 1, 1, 0\}$ 확률변수의 정의에 따라 표본공간의 모든 원소를 실수로 대응시킨 것을 확인할 수 있음 이산형 확률변수 (Discrete random variables) 유한한 값을 가지는 확률 변수 ex. .. 2023. 5. 4. 이전 1 2 다음 728x90
