확률변수(Random Variable)

 

확률변수(Random Variable)의 정의

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확률변수는 표본공간(Sample Space)에 있는 모든 원소(Element)를 실수로 대응시키는 함수이다.

 

표본공간(Sample Space)

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표본공간은 실험의 결과 하나하나를 모두 모은 것을 뜻하며, S로 나타냄

예를 들어 동전을 2개 던지는 경우 표본공간은

$S = \{앞앞, 앞뒤, 뒤앞, 뒤뒤\}$

 

그렇다면 위 표본공간에서 확률변수($Y$)는?

$Y$ = 동전이 앞면이 나오는 경우는?

표본공간 $S$에서 앞면이 나오는 경우를 세보면 $S =\{2, 1, 1, 0\}$

확률변수의 정의에 따라 표본공간의 모든 원소를 실수로 대응시킨 것을 확인할 수 있음

 

이산형 확률변수 (Discrete random variables)

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유한한 값을 가지는 확률 변수

ex. 동전 던지기, covid-19 확진자수

 

연속형 확률변수 (Continuous random variables)

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ex. 시간, 돈

 

확률함수 (Probability Function)

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위의 표본공간 $S$에서 확률함수(동전을 던져서 앞면이 나오는 경우)를 이용하여 실수를 구하였는데, 이 각각의 실수들이 나올 확률을 표현하는 것이 확률함수

확률함수는 확률변수로 부터 구한 실수를 확률로 대응하는 함수인데, 여기서 이 실수가 이산형과 연속형으로 나뉘어짐

그래서 이산형일 경우 Probability mass function 확률질량함수(pmf)

연속형일 경우 Probability density function 확률밀도함수(pdf)

 

확률 질량 함수

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이산형 확률변수 $X$가 취할 수 있는 값 $x$

$p(X) = P[X = x]$

확률변수 X

위 동전던지기 표본공간에서 보면 앞면이 0이 나올 확률은 1개, 1은 2개, 2는 1개 이므로

$P(X=0)=\frac14$, $P(X=1)=\frac24$, $P(X=2)=\frac14$

 

정리

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실험(Experiment): 데이터를 생성하는 모든 과정

표본공간(Sample Space): 실험으로 부터 얻은 모든 결과값들의 집합

확률변수(Random Variable): 표본공간의 요소를 실수로 대응시키는 함수

확률함수(Probability Function): 확률 값을 생성하는 함수

확률분포(Probability Distribution): 확률함수로부터 나온 확률 값들의 패턴

 

출처 : 김성범 교수님 유튜브

https://www.youtube.com/watch?v=GqDy0sInGJ0&list=PLpIPLT0Pf7IqS4as3nefPyGv94r2aY6IT&index=19